標題:
數學知識交流(44) --- 長方體
假如給你1個小正方體方塊，你從一個角度去看它，最多能看到它的3個面。假如給你8個一樣的小正方體方塊，你可以排列成三種長方體，一種是1×1×8，另一種是1×2×4，還有2×2×2。1×1×8的長方體從一個角度去看它，最多能看到17個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。1×2×4的長方體從一個角度去看它，最多能看到14個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。2×2×2的正方體從一個角度去看它，最多能看到12個正方形面，但只能看到7個小正方體。問：1.... 顯示更多 假如給你1個小正方體方塊，你從一個角度去看它，最多能看到它的3個面。 假如給你8個一樣的小正方體方塊，你可以排列成三種長方體，一種是1×1×8，另一種是1×2×4，還有2×2×2。1×1×8的長方體從一個角度去看它，最多能看到17個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。1×2×4的長方體從一個角度去看它，最多能看到14個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。2×2×2的正方體從一個角度去看它，最多能看到12個正方形面，但只能看到7個小正方體。 問： 1. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 2. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 更新: 1. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方形面的數目為何？要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方形面的數目為何？ 2. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方體方塊的數目為何？要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方體方塊的數目為何？
最佳解答:
首先，考慮可能的長方體: - 1 x 1 x 40 .... (1) - 1 x 2 x 20 .... (2) - 1 x 4 x 10 .... (3) - 1 x 5 x 8 ..... (4) - 2 x 1 x 20 .... (重1) - 2 x 2 x 10 .... (5) - 2 x 4 x 5 ..... (6) - 4 x 1 x 10 .... (重3) - 4 x 2 x 5 ..... (重6) - 5 x 1 x 8 ..... (重4) - 5 x 2 x 4 ..... (重6) 總共有6個方法。 因為不是很多，所以其中一個辦法就是列表， 即每個情況都數一次面數和粒數，最後再比較。 但這樣粗暴的方法，亦失去了數學探索的樂趣。 因此呢，以下方法會是嘗試分析並找出一定的規律。 . 為了方便最後的結論，現在先作以下定義： 自定定義一： 2 x 4 x 5 分別稱為「深」、「闊」、和「長」。 自定定義一： 1 x 1 x N 稱為「瘦長」、 在形狀不重覆的前題下，最大深之中最大闊的情況稱為「粗肥」。 . 首先從最簡單的情況開始想。 1) 在只有一粒時，是可以看到三面，稱此為「前」。 4) 在有四粒時，1x1x4的情況下，有一粒為「前」， ...另外有三粒可以看到兩面，稱之為「邊」。 ...面數 = 3 + 2 x 3(邊) = 9 ...1x2x2時，有一前、二邊，剩下一粒只看到一面，稱之為「後」。 ...面數 = 3 + 2 x 2(邊) + 1 x 1(後) = 8 ...由此可得出，前數必為1 ..,邊數似乎為(闊+長-2)。 ...後數似乎為 (闊-1)x(長-1)。 12) 在有十二粒時， ...1x1x12有 3 + 2 x 11 = 25面。 ...1x2x6 有 3 + 2 x (2+6-2) + 1 x (1x5) = 20面 ...2x2x3 有 1前, 1+1+2邊, 2+1+1後。 ...面數共有 3 + 2 x (1+1+2) + 1 x (1+1+2) = 15面 ...原來邊數應為 (深-1)+(闊-1)+(長-1) ...而後數應為 (深-1)x(闊-1)+(闊-1)x(長-1)+(長-1)x(深-1) ...另外，這次有兩粒被「遮」住了。 ...遮數為 (深-1)x(闊-1)x(長-1) . 歸納一下，便會得出以下原則: (i). 只要深為 1 ，便是最多粒; (ii) 最多面的，必定是瘦長，因為全為前和邊; (iii)反之，後和遮多的話，面和粒便會少;而粗肥時，後和遮便會最多。 . 回應題目所問，將以上原則套進粒數是40的情況，得出： - 粒最多是在(1),(2),(3)或(4)時, 數量是 40 - 面最多是在(1)時, 數量是 -- 3 + 2 x 39 = 81 - 面最少和粒最少是在(6)時， -- 面數是 3 + 2 x (1+3+4) + 1 x (1x3 + 3x4 + 4x1) = 38 -- 粒數是 全 - 遮 = 40 - 1x3x4 = 28
其他解答:
1b. 2x4x5 ???|||||1) 要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 2) 要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40
數學知識交流(44) --- 長方體
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發問:假如給你1個小正方體方塊，你從一個角度去看它，最多能看到它的3個面。假如給你8個一樣的小正方體方塊，你可以排列成三種長方體，一種是1×1×8，另一種是1×2×4，還有2×2×2。1×1×8的長方體從一個角度去看它，最多能看到17個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。1×2×4的長方體從一個角度去看它，最多能看到14個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。2×2×2的正方體從一個角度去看它，最多能看到12個正方形面，但只能看到7個小正方體。問：1.... 顯示更多 假如給你1個小正方體方塊，你從一個角度去看它，最多能看到它的3個面。 假如給你8個一樣的小正方體方塊，你可以排列成三種長方體，一種是1×1×8，另一種是1×2×4，還有2×2×2。1×1×8的長方體從一個角度去看它，最多能看到17個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。1×2×4的長方體從一個角度去看它，最多能看到14個正方形面，而8個小正方體方塊都能從一個角度看到。2×2×2的正方體從一個角度去看它，最多能看到12個正方形面，但只能看到7個小正方體。 問： 1. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 2. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 更新: 1. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方形面的數目為何？要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方形面的數目為何？ 2. 給你40個小正方體方塊，要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方體方塊的數目為何？要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？而這時看到的正方體方塊的數目為何？
最佳解答:
首先，考慮可能的長方體: - 1 x 1 x 40 .... (1) - 1 x 2 x 20 .... (2) - 1 x 4 x 10 .... (3) - 1 x 5 x 8 ..... (4) - 2 x 1 x 20 .... (重1) - 2 x 2 x 10 .... (5) - 2 x 4 x 5 ..... (6) - 4 x 1 x 10 .... (重3) - 4 x 2 x 5 ..... (重6) - 5 x 1 x 8 ..... (重4) - 5 x 2 x 4 ..... (重6) 總共有6個方法。 因為不是很多，所以其中一個辦法就是列表， 即每個情況都數一次面數和粒數，最後再比較。 但這樣粗暴的方法，亦失去了數學探索的樂趣。 因此呢，以下方法會是嘗試分析並找出一定的規律。 . 為了方便最後的結論，現在先作以下定義： 自定定義一： 2 x 4 x 5 分別稱為「深」、「闊」、和「長」。 自定定義一： 1 x 1 x N 稱為「瘦長」、 在形狀不重覆的前題下，最大深之中最大闊的情況稱為「粗肥」。 . 首先從最簡單的情況開始想。 1) 在只有一粒時，是可以看到三面，稱此為「前」。 4) 在有四粒時，1x1x4的情況下，有一粒為「前」， ...另外有三粒可以看到兩面，稱之為「邊」。 ...面數 = 3 + 2 x 3(邊) = 9 ...1x2x2時，有一前、二邊，剩下一粒只看到一面，稱之為「後」。 ...面數 = 3 + 2 x 2(邊) + 1 x 1(後) = 8 ...由此可得出，前數必為1 ..,邊數似乎為(闊+長-2)。 ...後數似乎為 (闊-1)x(長-1)。 12) 在有十二粒時， ...1x1x12有 3 + 2 x 11 = 25面。 ...1x2x6 有 3 + 2 x (2+6-2) + 1 x (1x5) = 20面 ...2x2x3 有 1前, 1+1+2邊, 2+1+1後。 ...面數共有 3 + 2 x (1+1+2) + 1 x (1+1+2) = 15面 ...原來邊數應為 (深-1)+(闊-1)+(長-1) ...而後數應為 (深-1)x(闊-1)+(闊-1)x(長-1)+(長-1)x(深-1) ...另外，這次有兩粒被「遮」住了。 ...遮數為 (深-1)x(闊-1)x(長-1) . 歸納一下，便會得出以下原則: (i). 只要深為 1 ，便是最多粒; (ii) 最多面的，必定是瘦長，因為全為前和邊; (iii)反之，後和遮多的話，面和粒便會少;而粗肥時，後和遮便會最多。 . 回應題目所問，將以上原則套進粒數是40的情況，得出： - 粒最多是在(1),(2),(3)或(4)時, 數量是 40 - 面最多是在(1)時, 數量是 -- 3 + 2 x 39 = 81 - 面最少和粒最少是在(6)時， -- 面數是 3 + 2 x (1+3+4) + 1 x (1x3 + 3x4 + 4x1) = 38 -- 粒數是 全 - 遮 = 40 - 1x3x4 = 28
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1b. 2x4x5 ???|||||1) 要使從一個角度看到的正方形面的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 要使從一個角度看到的正方形面的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 2) 要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最多，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40 要使從一個角度看到的正方體方塊的數目最少，它的長、闊、高分別是多少個正方體方塊？ 1×1×40
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