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數學長題目

發問:

一間演奏廳進行改建，原來的圖則顯示整個演奏廳共有15行，第三行及第十一行分別有座位54及126個，若演奏廳座位的設計以等差數列的概念為基礎。請計算： a)每行相差多少個座位? b)整間演奏廳共有多少個座位? c)哪一行座位是等一行座位數目的三倍? d)若演奏廳加建三行，共會增加多少個座位? e)加建後的座位比原來的設計增加了多少個百分比?

最佳解答:

一間演奏廳進行改建，原來的圖則顯示整個演奏廳共有15行，第三行及第十一行分別有座位54及126個，若演奏廳座位的設計以等差數列的概念為基礎。請計算： a)每行相差多少個座位? 設首項為 a，公差為 d 則第3行 a + 2d = 54 第11行 a + 10d = 126 兩式相減 8d = 72 d = 9 a + 2d = 54 a + 2(9) = 54 a = 36 每行相差9個位 b)整間演奏廳共有多少個座位? 第15行有座位 a + 14d = 36 + 14x9 = 162 所以共有座位=(首項+末項)x項數 / 2 = (36 + 162)x15/2 = 1485個共有座位 1485個 c)哪一行座位是等一行座位數目的三倍? 設為第n行，則 3a = a + (n-1)d 2a = (n-1)d 2(36) = (n-1)x9 n – 1 = 8 n = 9 第9的座位為第一行的3倍。 d)若演奏廳加建三行，共會增加多少個座位? 這三行的座位為 162 + 9 = 171 171 + 9 = 180 180 + 9 = 189 所以共增加了 171 + 180 +189 = 540個 e)加建後的座位比原來的設計增加了多少個百分比? 540x100% / 1485 = 36.4% 增加了36.4%的座位

其他解答:

a)T3=54 T11=126 T11-T3=126-54=72 公差=72/8 =9 每行的公差是9 b)T1=T3-9(2)=54-18=36 T15=36+9*15=171 171*15=2565-9*(15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=2565-1080 =1485 整間演奏廳共有1485個座位 c)T1=36 36*3=108 Tn=108 36+9(n-1)=108 9(n-1)=72 n-1=8 n=9 T9=108 第9行座位是第一行座位的三倍 d)T16=36+9(16-1)=171 T17=36+9(17-1)=180 T18=36+9(18-1)=189 T16+T17+T18=171+180+189=540 共會增加540個座位 e)540/1485*100% =36.3636...% 加建後的座位比原來的設計增加了36.36%(p.s.後面的36該有循環小數點)|||||a)每行相差多少個座位? 答: 9個座位 b)整間演奏廳共有多少個座位? 答: 1485個座位 c)哪一行座位是等一行座位數目的三倍? 答: 第9行 d)若演奏廳加建三行，共會增加多少個座位? 答: 540個座位 e)加建後的座位比原來的設計增加了多少個百分比? 答: 約36.36% 設第一行有a 個座位; 每行相差b 個座位可以得出以下兩條數式 a + b + b = 54 (a + 2b = 54) 及 a + b + b + b + b + b + b + b + b + b + b = 126 (a + 10b = 126) 將兩條數式合併後, 可得出 a = 54 - 2b 將這條數式套入 a + 10b = 126, 就可以得出 (54 - 2b) + 10b = 126 b = 9 a = 36 所以, 第一行有36個座位, 每行相差9個座位有了這個資料, 其餘的答案便呼之欲出!