標題:
p.43 (13.14) 二項式定理 中四符加數
發問:
13)已知(1+4x+x^2)^n=1+ax+bx^2+其他x較高次冪的項，其中n為正整數。 a)以n表a和b b)若a=20﹐求n和b 。 14) a) 展開(1-2x)^3和(1+1/x)^5 b) 在(1-2x)^3 (1+1/x)^5的展式中﹐求 i) 常數項: ii) x的係數
a.(1+4x+x^2)n =[1 + x(4 + x)]n = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2][x(4 + x)]2 + ... = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2][x2(16 + 8x + x2)] + ... = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2](16x2) + ... = 1 + 4nx + [n + 16n(n - 1) / 2]x2 + ... a = 4n, b = n + 16n(n﹣1) / 2 ∵a = 4, ∴4n = 20 n = 5 b = n + 16n(n﹣1) / 2 b = 5 + 16*5(5﹣1) / 2 b = 165 14a)(1﹣2x)3= 1﹣3(2x)+3(2x)2﹣(2x)3 ???????= 1﹣6x+12x2﹣8x3 (1 + 1/x)5 = 1+5(1/x)+10(1/x)2+10(1/x)3+5(1/x)4+(1/x)5 ????? = 1+ (5/x) + (10/x2)+(10/x3)+(5/x4)+(1/x5) b(i)(1﹣2x)3(1 + 1/x)5 = (1﹣6x+12x2﹣8x3)[1+ (5/x) + (10/x)2+(10/x3)+(5/x4)+(1/x5)] 常數項 = 1﹣6x(5/x)+12x2 (10/x2)﹣8x3 (10/x3) = 1﹣30+120﹣80 = 11 ii) x的係數 = -6+60﹣80 = -26
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p.43 (13.14) 二項式定理 中四符加數
發問:
13)已知(1+4x+x^2)^n=1+ax+bx^2+其他x較高次冪的項，其中n為正整數。 a)以n表a和b b)若a=20﹐求n和b 。 14) a) 展開(1-2x)^3和(1+1/x)^5 b) 在(1-2x)^3 (1+1/x)^5的展式中﹐求 i) 常數項: ii) x的係數
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最佳解答:a.(1+4x+x^2)n =[1 + x(4 + x)]n = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2][x(4 + x)]2 + ... = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2][x2(16 + 8x + x2)] + ... = 1 + nx(4 + x) + [n(n - 1) / 2](16x2) + ... = 1 + 4nx + [n + 16n(n - 1) / 2]x2 + ... a = 4n, b = n + 16n(n﹣1) / 2 ∵a = 4, ∴4n = 20 n = 5 b = n + 16n(n﹣1) / 2 b = 5 + 16*5(5﹣1) / 2 b = 165 14a)(1﹣2x)3= 1﹣3(2x)+3(2x)2﹣(2x)3 ???????= 1﹣6x+12x2﹣8x3 (1 + 1/x)5 = 1+5(1/x)+10(1/x)2+10(1/x)3+5(1/x)4+(1/x)5 ????? = 1+ (5/x) + (10/x2)+(10/x3)+(5/x4)+(1/x5) b(i)(1﹣2x)3(1 + 1/x)5 = (1﹣6x+12x2﹣8x3)[1+ (5/x) + (10/x)2+(10/x3)+(5/x4)+(1/x5)] 常數項 = 1﹣6x(5/x)+12x2 (10/x2)﹣8x3 (10/x3) = 1﹣30+120﹣80 = 11 ii) x的係數 = -6+60﹣80 = -26
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