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標題:
數學雜題2題
發問:
1. 已知abc≠0，證明：四個數(a+b+c)3 / abc、(b-c-a)3 / abc、(c-a-b)3 / abc、(a-b-c)3 / abc中至少有一個不小於6。2. 求出所有正整數x, y，使得x2 + 615 = 2^y。
最佳解答:
1)假設它們當中沒有一個不小於 6 , 則四個數之和 < 4 x 6 = 24 ,但 (a+b+c)3 / abc + (b-c-a)3 / abc + (c-a-b)3 / abc + (a-b-c)3 / abc = 24 矛盾!故四個數中至少有一個不小於6。 2)x2 + 615 = 2?當 y 為奇數時 , 2? 的個位數 = 2 或 8明顯 x2 為奇數 , 其個位數 = 1 , 5 或 9 ,故 x2 + 615 個位數 = 6 , 0 , 或 4 , 矛盾!故 y 必為偶數。令 y = 2n x2 + 615 = 22?22? - x2 = 615(2? - x) (2? + x) = 3 x 5 x 41[ (2? - x) , (2? + x) ] = (1 , 615) , (3 , 205) , (5 , 123) 或 (15 , 41) 只有 5 + 123 = 128 符合 (2? - x) + (2? + x) = 2??1∴ n = 6 , 即 y = 12 , x = 59。
其他解答:
數學雜題2題
發問:
1. 已知abc≠0，證明：四個數(a+b+c)3 / abc、(b-c-a)3 / abc、(c-a-b)3 / abc、(a-b-c)3 / abc中至少有一個不小於6。2. 求出所有正整數x, y，使得x2 + 615 = 2^y。
最佳解答:
1)假設它們當中沒有一個不小於 6 , 則四個數之和 < 4 x 6 = 24 ,但 (a+b+c)3 / abc + (b-c-a)3 / abc + (c-a-b)3 / abc + (a-b-c)3 / abc = 24 矛盾!故四個數中至少有一個不小於6。 2)x2 + 615 = 2?當 y 為奇數時 , 2? 的個位數 = 2 或 8明顯 x2 為奇數 , 其個位數 = 1 , 5 或 9 ,故 x2 + 615 個位數 = 6 , 0 , 或 4 , 矛盾!故 y 必為偶數。令 y = 2n x2 + 615 = 22?22? - x2 = 615(2? - x) (2? + x) = 3 x 5 x 41[ (2? - x) , (2? + x) ] = (1 , 615) , (3 , 205) , (5 , 123) 或 (15 , 41) 只有 5 + 123 = 128 符合 (2? - x) + (2? + x) = 2??1∴ n = 6 , 即 y = 12 , x = 59。
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勝利~~~~~~~~~~~^^|||||1) 2) x2 + 615 = 2y 2y - x2 = 615 若 y 為雙數時: 22n - x2 = 615, n 為正整數. (2n - x)(2n + x) = 615 615 = 3 x 5 x 41 所以有三個可能: (i) 2n - x = 3 和 2n + x = 205 即 2n = 104 和 x = 101 (捨棄) (ii) 2n - x = 15 和 2n + x = 41 即 2n = 28 和 x = 13 (捨棄) (i) 2n - x = 5 和 2n + x = 123 即 2n = 64 和 x = 59 所以 n = 6 即 y = 12, x = 59 若 y 為雙數時: 22n+1 - x2 = 615, n 為正整數. x2 = 22n+1 - 615 22n+1 - 615 為平方數 所以 22n+1 - 615 > 0 -> n >= 5 而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數 22n+1 <= 3082 可得出 n <= 7 所以, 只需查證 211 - 615, 213 - 615 和 215 - 615 即可. 211 - 615 = 1433 213 - 615 = 7577 211 - 615 = 32153 三個皆不是平方數. 所以只有 x = 59, y = 12 為唯一可能性.|||||1) 圖片參考：http://i1191.photobucket.com/albums/z467/robert1973/Oct11/Crazyineq2.jpg 2) x2 + 615 = 2y 2y - x2 = 615 若 y 為雙數時: 22n - x2 = 615, n 為正整數. (2n - x)(2n + x) = 615 615 = 3 x 5 x 41 所以有三個可能: (i) 2n - x = 3 和 2n + x = 205 即 2n = 104 和 x = 101 (捨棄) (ii) 2n - x = 15 和 2n + x = 41 即 2n = 28 和 x = 13 (捨棄) (i) 2n - x = 5 和 2n + x = 123 即 2n = 64 和 x = 59 所以 n = 6 即 y = 12, x = 59 若 y 為雙數時: 22n+1 - x2 = 615, n 為正整數. x2 = 22n+1 - 615 22n+1 - 615 為平方數 所以 22n+1 - 615 > 0 -> n >= 5 而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數 22n+1 <= 3082 可得出 n <= 7 所以, 只需查證 211 - 615, 213 - 615 和 215 - 615 即可. 211 - 615 = 1433 213 - 615 = 7577 211 - 615 = 32153 三個皆不是平方數. 所以只有 x = 59, y = 12 為唯一可能性. 2011-10-31 11:49:39 補充： (2) 第二個 case 是 "若 y 為單數時"
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