標題:
數學雜題2題
發問:
1. 已知abc≠0，證明：四個數(a+b+c)3 / abc、(b-c-a)3 / abc、(c-a-b)3 / abc、(a-b-c)3 / abc中至少有一個不小於6。2. 求出所有正整數x, y，使得x2 + 615 = 2^y。
最佳解答:
1)假設它們當中沒有一個不小於 6 , 則四個數之和
其他解答:
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勝利~~~~~~~~~~~^^|||||1) 2) x2 + 615 = 2y 2y - x2 = 615 若 y 為雙數時: 22n - x2 = 615, n 為正整數. (2n - x)(2n + x) = 615 615 = 3 x 5 x 41 所以有三個可能: (i) 2n - x = 3 和 2n + x = 205 即 2n = 104 和 x = 101 (捨棄) (ii) 2n - x = 15 和 2n + x = 41 即 2n = 28 和 x = 13 (捨棄) (i) 2n - x = 5 和 2n + x = 123 即 2n = 64 和 x = 59 所以 n = 6 即 y = 12, x = 59 若 y 為雙數時: 22n+1 - x2 = 615, n 為正整數. x2 = 22n+1 - 615 22n+1 - 615 為平方數 所以 22n+1 - 615 > 0 -> n >= 5 而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數 22n+1 0 -> n >= 5 而且, 3082 - 3072 = 615, 所以當 22n+1 > 3082 時, 22n+1 - 615 不可能時平方數 22n+1
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